Problema

Se subo uma escada de 4 em 4 degraus, dou 3 passos a mais que subindo de 5 em 5 degraus. Quantos degraus tem a escada?

Solução

1) Seja x o número de degraus de tal escada. Então, se subo a escada de 1 em 1 degrau dou x passos.

2)

Figura A

Figura A

Se subo a escada de 4 em 4 degraus dou x/4 passos. (Figura A)

3)

Figura B

Figura B

Se subo a escada de 5 em 5 degraus dou x/5 passos. (Figura B)

4) Como no primeiro caso dou 3 passos a mais que no segundo, podemos escrever

    \begin{gather*} \frac{x}{4} - \frac{x}{5} = 3\\ \frac{5x-4x}{20}=3\\ \frac{x}{20}=3\\ \boxed{x=60}.  \end{gather*}

Portanto, tal escada tem 60 degraus.

😉

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Problema

Uma tabuleiro de xadrez tem casas com 2 \; \textrm{cm} de lado. Qual é o raio do maior círculo que você consegue desenhar no tabuleiro de forma que sua circunferência esteja toda contida nas casas pretas?


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Solução

Investigando!
(assista ao vídeo)



No vídeo podemos notar que o círculo que procuramos não pode ter centro em um dos pontos da malha que forma o quadriculado do tabuleiro, e.g. o ponto F.

Usando o centro de uma das casas brancas, e.g. o ponto N, só conseguimos desenhar um círculo. O de raio igual a NE.

Se usarmos o centro de uma das casas pretas, e.g. o ponto B, conseguimos desenhar apenas dois círculos. O de raio BD e o de raio BU.

Logo, o maior deles é o de centro em B e raio BU.

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Para calcular BU, o raio do círculo peocurado consideremos o triângulo pitagórico DBU na figura abaixo.

Screenshots_2016-01-21-22-12-25_20160121223224472-300x301

Nele BD=DG=1 \; \textrm{cm} (metade do lado de uma casa) e GU=2 \; \textrm{cm} (lado de uma casa). Assim

    \begin{gather*} (BU)^2=(BD)^2+(DU)^2\\ (BU)^2=(BD)^2+(DG+GU)^2\\   (BU)^2=1^2+3^2\\ \boxed{BU=\sqrt{10}} \end{gather*}

😉
THE SECOND SCIENTIFIC AMERICAN BOOK OF Mathematical Puzzles & Diversions
MARTIN GARDNER

Problema

Considere um quadrado formado por 9 pontos como na figura. Cruze os nove pontos com 4 retas sem tirar o lápis do papel!

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Solução

Dots_1-320x320

The Moscow Puzzles
359 Mathematical Recreations

BORIS A. KORDEMSKY
CHARLES SCRIBNER’S SONS / NEW YORK

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