geometria plana

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Problema

Dados os dois retângulos da figura, como traçar uma reta que divide cada retângulo, em partes de mesma área?

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Solução

Qualquer reta que passe pelo centro de um retângulo (encontro das diagonais), o divide em duas regiões de mesma área.

Chegamos a essa conclusão a partir das congruências abaixo.

    \begin{eqnarray*}  \bigtriangleup NRD \cong \bigtriangleup  NPB\\  \bigtriangleup AND \cong \bigtriangleup  CNB\\  \bigtriangleup PNA \cong \bigtriangleup RNC \end{eqnarray*}

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Assim, a reta pedida passa pelo centro dos dois retângulos.

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Problema

As circunferências \Omega_{1} e \Omega_{2} são tangentes internamente em A e a corda \overline{BC} de \Omega_{1} é tangente a \Omega_{2} em E. \overline{AB} e \overline{AC} interceptam \Omega_{2} em H e G, respectivamente. Se BC=15, AG=2 e AH=3, encontre EB.

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a) 7   b) 8   c) 9   d) 10   e) 11

Solução

1. Inicialmente mostremos a seguinte semelhança: \Delta ABC \sim \Delta AHG.

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Seja r a reta tangente a \Omega_1 e a \Omega_2 em A. O ângulo inscrito A\widehat{G}H e o ângulo de segmento S\widehat{A}B determinam o menor arco \wideparen{AH} (azul). Assim A\widehat{G}H \cong S\widehat{A}B.

De forma similar temos que o ângulo inscrito A\widehat{C}B e o ângulo de segmento S\widehat{A}B determinam o menor arco \wideparen{AB} (vermelho). Assim A\widehat{C}B \cong S\widehat{A}B.

Portanto, A\widehat{G}H \cong A\widehat{C}B \cong S\widehat{A}B e como H\widehat{A}G \cong B\widehat{A}C, os triângulos \Delta ABC e \Delta AHG são semelhantes pelo caso (AA).

2. Mostremos agora a seguinte semelhança: \Delta ACE \sim \Delta AEH.

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O ângulo inscrito A\widehat{E}H e o ângulo de segmento S\widehat{A}B determinam o menor arco \wideparen{AH} (azul). Assim A\widehat{E}H \cong S\widehat{A}B.

De forma similar A\widehat{C}B e o ângulo de segmento S\widehat{A}B determinam o menor arco \wideparen{AB} (vermelho). Assim A\widehat{C}B \cong S\widehat{A}B. Logo A\widehat{C}E \cong A\widehat{E}H \cong S\widehat{A}B.

O ângulo inscrito E\widehat{H}A e o ângulo de segmento C\widehat{E}A determinam o menor arco \wideparen{AE} (verde). Assim E\widehat{H}A \cong C\widehat{E}A.

Portanto, os triângulos \Delta ACE e \Delta AEH são semelhantes pelo caso (AA). Da semelhança temos E\widehat{A}C \cong H\widehat{A}E e então \overline{AE} é bissetriz interna do \Delta ABC.

3. Agora vamos resolver o problema proposto. Como \Delta ABC \sim \Delta AHG temos

    \begin{equation*}  \frac{AC}{AB}=\frac{AG}{AH}=\frac{2}{3}. \end{equation*}

E como \overline{AE} é bissetriz interna do \Delta ABC temos

    \begin{gather*}  \frac{AC}{AB}=\frac{CE}{EB}=\frac{15-EB}{EB} =\frac{2 }{3}\Rightarrow\\ \Rightarrow \frac{15-EB}{EB} =\frac{2 }{3} \Rightarrow \boxed{EB=9}.  \end{gather*}

alternativa C

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CHALLENGING PROBLEMS IN GEOMETRY

Alfred S. Posamentier
Charles T. Salkind

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Problema

Calcule \theta no quadrado ABCD abaixo.

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a) 15^{\circ}   b) 20^{\circ}   c) 30^{\circ}   d) 35^{\circ}   e) 40^{\circ}  

Solução

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Considere \overline{DF}\perp\overline{AE}. Tome G em \overline{DF} tal que G\widehat{A}E=60^{\circ}. Do vértice A do quadrado temos

    \begin{align*}  D\widehat{A}G & = D\widehat{A}B - G\widehat{A}E - E\widehat{A}B\\ & = 90^{\circ}-60^{\circ}-15^{\circ}\\ & = 15^{\circ} \end{align*}

e A\widehat{G}D é externo do \Delta GAF assim

    \begin{align*}  A\widehat{G}D & = G\widehat{A}E + A\widehat{F}G\\ & = 90^{\circ}+60^{\circ}\\ & = 150^{\circ}.  \end{align*}

No \Delta ABE

    \begin{align*}  B\widehat{E}A & = 180^{\circ} - E\widehat{A}B - A\widehat{B}E\\ & =180^{\circ}-15^{\circ}-15^{\circ}\\ & =150^{\circ}.  \end{align*}

Logo, \Delta AGD \cong \Delta AEB pelo caso LAA_{o} e então \overline{AG} \cong \overline{AE}. No \Delta AFG

    \[ \sen 60^{\circ} =\frac{AF}{AG} =\frac{1}{2} \]

logo F é ponto médio do segmento \overline{AE}. Assim \Delta AFD \cong \Delta EFD pelo caso LAL. De onde tiramos que DA=DE. De forma semelhante mostramos que CB=CE. Portanto DE=EC=CD e o \Delta DEC é equilátero. Assim, no vértice C do quadrado temos

    \begin{align*}  \theta & = B\widehat{C}D - E\widehat{C}D\\ & = 90^{\circ} - 60^{\circ}\\ & = 30^{\circ} \end{align*}

alternativa C

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Problema
Quanto vale \theta na figura abaixo? (figura fora de escala)

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a) 24^{\circ}   b) 36^{\circ}   c) 40^{\circ}   d) 46^{\circ}   e) 54^{\circ}  

Solução

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Observe, na figura acima, que \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4 e
\alpha_5 são os ângulos externos do pentágono FGHIJ. Logo

    \[ \sum_{k=1}^5 \alpha_k = 360^{\circ}. \]

E como \beta_1 = \alpha_2, \beta_2 = \alpha_3, \beta_3 = \alpha_4, \beta_4 = \alpha_5 e \beta_5 = \alpha_1, temos

    \[ \sum_{k=1}^5 \beta_k = 360^{\circ}. \]

Fazendo

    \[ 60^{\circ}+ 34^{\circ}+ 26^{\circ}+ 20^{\circ}+\theta=S \]

podemos escrever

    \begin{eqnarray*} \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 + \alpha_4 + \alpha_5 &  = & 360^{\circ} \\ \beta_1 +  \beta_2  + \beta_3 + \beta_4 + \beta_5 & = & 360^{\circ} \\ 60^{\circ} + 34^{\circ} + 26^{\circ} + 20^{\circ} + \theta & = & S.  \end{eqnarray*}

Somando adequadamente essas sentenças obtemos

    \begin{gather*} (\alpha_1 + \beta_1 + 60^{\circ}) + (\alpha_2 + \beta_2 + 34^{\circ}) +\\ + (\alpha_3 + \beta_3 + 26^{\circ}) + (\alpha_4 + \beta_4 + 20^{\circ}) +\\ + (\alpha_5 + \beta_5 + \theta) = 2 \cdot 360^{\circ} + S.  \end{gather*}

Observe que as somas nos parêntesis são as somas dos ângulos internos dos triângulos \Delta AJF, \Delta BFG, \Delta CGH, \Delta DHI, \Delta EIJ. Assim,

    \begin{gather*}  5\cdot 180^{\circ} = 2 \cdot 360^{\circ} + S\\ S = 180^{\circ}.  \end{gather*}

Substituindo esse resultado em (3) temos,

    \begin{gather*} 60^{\circ} + 34^{\circ} + 26^{\circ} + 20^{\circ} + \theta  = 180^{\circ}\\ \theta = 40^{\circ}.  \end{gather*}

alternativa C

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