papo nerd

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Problema

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Solução

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😉

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The Feynman Problem-Solving Algorithm:

(1) Write down the problem
(2) Think very hard
(3) Write down the answer

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Problema: Dado um triângulo ABC, mostre que o raio R da circuferência circusncrita \Gamma, o raio r da circunferência inscrita \Omega e a distância d entre os dois centros satisfaz a relação R^2-2Rr=d^2.

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Solução: Suponha, sem perda de generalidade, que os ângulos B\hat{A}C=\alpha, C\hat{B}A=\beta e A\hat{C}B=\gamma são tais que \beta>\gamma. Sejam J, H e D os pontos de tangência da circunferência inscrita \Omega com os lados BC=a, AC=b e AB=c, respectivamente. Temos que AD=AH=u, BD=BJ=v e CH=CJ=w.

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De onde escrevemos v+w=a, u+w=b e u+v=c e somando-se essas três relações obtemos

    \[ u+v+w=\frac{a+b+c}{2}=p, \]

onde p é o semiperímetro do triângulo ABC. Então temos u=p-a, v=p-b e w=p-c.

Agora consideremos a figura abaixo onde I é incentro do triângulo ABC. O segmento \overline{AI} está contido na reta suporte da bissetriz de B\hat{A}C. Logo D\hat{A}I=\alpha/2.

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Do triângulo ADI escrevemos

(1)   \begin{equation*} \cos{\frac{\alpha}{2}}=\frac{u}{AI} \Rightarrow AI=\frac{u}{\cos{\frac{\alpha}{2}}} \Rightarrow AI=\frac{p-a}{\cos{\frac{\alpha}{2}}} \end{equation*}

e também

(2)   \begin{equation*} \tg{\frac{\alpha}{2}}=\frac{r}{u} \Rightarrow r=u\tg{\frac{\alpha}{2}} \Rightarrow r=(p-a)\tg{\frac{\alpha}{2}}. \end{equation*}

Os ângulos C\hat{B}A e C\hat{O}A, inscrito e central, respectivamente na circunferência \Gamma, determinam o mesmo menor arco \stackrel\frown{AC}. Logo C\hat{O}A=2C\hat{B}A=2\beta. Como O é circuncentro do triângulo ABC, \overline{OK} está contido na reta suporte da mediatriz do segmento \overline{AC}. Logo C\hat{O}K=K\hat{O}A=\beta. Assim, no triângulo KOA, \rho=\pi/2-\beta. E como \theta+\rho=\alpha/2 e \alpha+\beta+\gamma=\pi temos que \theta=(\beta-\gamma)/2.

Aplicando a lei dos cossenos no triângulo OIA temos

    \[ OI^2=AI^2+AO^2-2 (AI)(AO) \cos \theta. \]

Usando (1) e AO=R temos

    \[ d^2=\left( \frac{p-a}{\cos{\frac{\alpha}{2}}} \right)^2+R^2-2\left( \frac{p-a}{\cos{\frac{\alpha}{2}}} \right)R\cos{\frac{\beta-\gamma}{2}} \]

    \[ d^2=R^2+\left( \frac{p-a}{\cos{\frac{\alpha}{2}}} \right)^2-2\left( \frac{p-a}{\cos{\frac{\alpha}{2}}} \right)R\cos{\frac{\beta-\gamma}{2}}. \]

Isso implica que a relação que queremos mostrar, R^2-2Rr=d^2 é equivalente a

    \[ 2R\left( \frac{p-a}{\cos{\frac{\alpha}{2}}} \right)\cos{\frac{\beta-\gamma}{2}}-\left( \frac{p-a}{\cos{\frac{\alpha}{2}}} \right)^2=2Rr \]

e usando (2) temos

    \[ 2R\left( \frac{p-a}{\cos{\frac{\alpha}{2}}} \right)\cos{\frac{\beta-\gamma}{2}}-\left( \frac{p-a}{\cos{\frac{\alpha}{2}}} \right)^2=2Rr=2R(p-a)\tg{\frac{\alpha}{2}} \]

    \[ 2R\left( \frac{p-a}{\cos{\frac{\alpha}{2}}} \right)\cos{\frac{\beta-\gamma}{2}}-\left( \frac{p-a}{\cos{\frac{\alpha}{2}}} \right)^2-2R(p-a)\tg{\frac{\alpha}{2}}=0. \]

Multiplicando esta última expressão por \frac{\cos^2{\frac{\alpha}{2}}}{(p-a)} temos

    \[ 2R\cos{\frac{\beta-\gamma}{2}}\cos{\frac{\alpha}{2}}-(p-a)-2R\tg{\frac{\alpha}{2}}\cos^2{\frac{\alpha}{2}}=0 \]

    \[ 2R\cos{\frac{\beta-\gamma}{2}}\cos{\frac{\alpha}{2}}-(p-a)-2R\frac{\sen{\frac{\alpha}{2}}}{\cos{\frac{\alpha}{2}}}\cos^2{\frac{\alpha}{2}}=0 \]

    \[ 2R\cos{\frac{\beta-\gamma}{2}}\cos{\frac{\alpha}{2}}-(p-a)-2R\sen{\frac{\alpha}{2}}\cos{\frac{\alpha}{2}}=0. \]

(3)   \begin{equation*} 2R\cos{\frac{\beta-\gamma}{2}}\cos{\frac{\alpha}{2}}-(p-a)-R\sen{\alpha}=0 \end{equation*}

Aplicando a lei dos senos ao triângulo ABC temos

    \[ \frac{a}{\sen{\alpha}}=\frac{b}{\sen{\beta}}=\frac{c}{\sen{\gamma}}=2R \]

    \[ \frac{b+c-a}{\sen{\beta}+\sen{\gamma}-\sen{\alpha}}=2R \]

    \[ \frac{b+c-a}{2}=(\sen{\beta}+\sen{\gamma}-\sen{\alpha})R. \]

Como

    \[ p-a= \frac{a+b+c}{2}-a=\frac{b+c-a}{2}=(\sen{\beta}+\sen{\gamma}-\sen{\alpha})R, \]

e substituindo em (3) temos

    \[ 2R\cos{\frac{\beta-\gamma}{2}}\cos{\frac{\alpha}{2}}-(\sen{\beta}+\sen{\gamma}-\sen{\alpha})R-R\sen{\alpha}=0 \]

(4)   \begin{equation*} 2\cos{\frac{\beta-\gamma}{2}}\cos{\frac{\alpha}{2}}-\sen{\beta}-\sen{\gamma}=0. \end{equation*}

Como \alpha=\pi-(\beta+\gamma) temos

    \[ \cos{\frac{\alpha}{2}}=\cos\left[{\frac{\pi-(\beta+\gamma)}{2}}\right]=\cos\left[\frac{\pi}{2}-\frac{\beta+\gamma}{2}\right]=\sen{\frac{\beta+\gamma}{2}} \]

e reescrevendo (4)

    \[ 2\sen{\frac{\beta+\gamma}{2}}\cos{\frac{\beta-\gamma}{2}}-\sen{\beta}-\sen{\gamma}=0. \]

Finalmente, aplicando a seguinte transformação em produto

    \[ \sen{p} + \sen{q} = 2\sen{\frac{p+q}{2}}\cos{\frac{p-q}{2}} \]

temos

    \[ \sen{\beta}+\sen{\gamma}-\sen{\beta}-\sen{\gamma}=0. \]

\Box

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