radiciação

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Problema

Assim como...

"dois e dois são quatro"

então...

\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\ldots}}\,}+

+\,\sqrt{2}\sqrt{2+\sqrt{2}}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}

é igual a?

a) 1   b) 2  c) 3  d) 4  e) 5

Solução

Seja

S=\overbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\ldots}}}}^{A}\,+

+\,\underbrace{\sqrt{2}\sqrt{2+\sqrt{2}}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}}_{B}

I) Resolvendo A.

A=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\ldots}}}

A^2=\left(\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\ldots}}}\right)^2

A^2=2+\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\ldots}}}_{A}

A^2=2+A

A^2-A-2=0

A=2 pois A >0

II) Resolvendo B.

B=\sqrt{2}\sqrt{2+\sqrt{2}}\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}}_{(i)}

(i) é produto de dois radicais com mesmo índice. Podemos reescrever na forma de um único radical.

B= \sqrt{2}\sqrt{2+\sqrt{2}}\sqrt{\underbrace{(2+\sqrt{2+\sqrt{2}}) (2-\sqrt{2+\sqrt{2}})}_{(ii)}

(ii) é diferença de quadrados.

B= \sqrt{2}\sqrt{2+\sqrt{2}}\sqrt{2^2-(\sqrt{2+\sqrt{2}})^2}

B= \sqrt{2}\sqrt{2+\sqrt{2}}\sqrt{4-(2+\sqrt{2})}

B= \sqrt{2}\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2}}\sqrt{2-\sqrt{2}}}_{(i)}

B= \sqrt{2}\sqrt{\underbrace{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}_{(ii)}}

B= \sqrt{2}\sqrt{2^2-(\sqrt{2})^2}

B= \sqrt{2}\sqrt{4-2}

B=\sqrt{2}\sqrt{2}

B=2

Assim, S=A+B=2+2=4.

Alternativa D

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