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Problema

Calcule \theta no quadrado ABCD abaixo.

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a) 15^{\circ}   b) 20^{\circ}   c) 30^{\circ}   d) 35^{\circ}   e) 40^{\circ}  

Solução

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Considere \overline{DF}\perp\overline{AE}. Tome G em \overline{DF} tal que G\widehat{A}E=60^{\circ}. Do vértice A do quadrado temos

    \begin{align*}  D\widehat{A}G & = D\widehat{A}B - G\widehat{A}E - E\widehat{A}B\\ & = 90^{\circ}-60^{\circ}-15^{\circ}\\ & = 15^{\circ} \end{align*}

e A\widehat{G}D é externo do \Delta GAF assim

    \begin{align*}  A\widehat{G}D & = G\widehat{A}E + A\widehat{F}G\\ & = 90^{\circ}+60^{\circ}\\ & = 150^{\circ}.  \end{align*}

No \Delta ABE

    \begin{align*}  B\widehat{E}A & = 180^{\circ} - E\widehat{A}B - A\widehat{B}E\\ & =180^{\circ}-15^{\circ}-15^{\circ}\\ & =150^{\circ}.  \end{align*}

Logo, \Delta AGD \cong \Delta AEB pelo caso LAA_{o} e então \overline{AG} \cong \overline{AE}. No \Delta AFG

    \[ \sen 60^{\circ} =\frac{AF}{AG} =\frac{1}{2} \]

logo F é ponto médio do segmento \overline{AE}. Assim \Delta AFD \cong \Delta EFD pelo caso LAL. De onde tiramos que DA=DE. De forma semelhante mostramos que CB=CE. Portanto DE=EC=CD e o \Delta DEC é equilátero. Assim, no vértice C do quadrado temos

    \begin{align*}  \theta & = B\widehat{C}D - E\widehat{C}D\\ & = 90^{\circ} - 60^{\circ}\\ & = 30^{\circ} \end{align*}

alternativa C

😉

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Problema

Encontre a soma dos dois últimos algarismos de S.

    \begin{align*}  S=74+7474&+747474  + \ldots +\\  & +\ldots +\underbrace{74 \ldots 747474}_{74 \, algarismos}  \end{align*}


a) 9   b) 10   c) 11   d) 12   e) 13

Solução

Para fazer a conta abaixo (que representa a soma S) precisamos saber quantas parcelas estamos somando.

    \begin{eqnarray*}  74 &  & \\ 7474 &  & \\ 747474 &  & \\ \vdots &  & \\ 74 \ldots 747474 & + & \\ \rule{2cm}{.1mm} & & \\ \ldots ba & &  \end{eqnarray*}

Como a cada nova parcela de S acrescentamos um ‘bloco’ igual a 74, o número desses blocos, na última parcela é igual ao número de parcelas de S.

    \begin{align*}  S=74&+7474+747474  + \ldots +\\  &+\ldots +\underbrace{ \underbrace{74}_{1} \underbrace{74}_{2} \underbrace{74}_{3} \ldots \underbrace{74}_{n} }_{74 \, algarismos}  \end{align*}

Assim, temos n=74/2=37 parcelas em S. Agora podemos encontrar os valores de a e b, algarismos das unidades e das dezenas de S, respectivamente.

Nas unidades temos

    \[ 4\cdot 37=148=14\cdot10+\boxed{8} \]

e então a=8 e 14 vai para as dezenas.

Nas dezenas temos

    \[ 7\cdot 37 +14=273=27\cdot 10+\boxed{3}  \]

de onde encontramos b=3.

Portanto, a soma dos dois últimos algarismos de S é

    \[ a+b=8+3 =11.  \]

alternativa C

😉

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Problema
Quanto vale \theta na figura abaixo? (figura fora de escala)

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a) 24^{\circ}   b) 36^{\circ}   c) 40^{\circ}   d) 46^{\circ}   e) 54^{\circ}  

Solução

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Observe, na figura acima, que \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4 e
\alpha_5 são os ângulos externos do pentágono FGHIJ. Logo

    \[ \sum_{k=1}^5 \alpha_k = 360^{\circ}. \]

E como \beta_1 = \alpha_2, \beta_2 = \alpha_3, \beta_3 = \alpha_4, \beta_4 = \alpha_5 e \beta_5 = \alpha_1, temos

    \[ \sum_{k=1}^5 \beta_k = 360^{\circ}. \]

Fazendo

    \[ 60^{\circ}+ 34^{\circ}+ 26^{\circ}+ 20^{\circ}+\theta=S \]

podemos escrever

    \begin{eqnarray*} \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 + \alpha_4 + \alpha_5 &  = & 360^{\circ} \\ \beta_1 +  \beta_2  + \beta_3 + \beta_4 + \beta_5 & = & 360^{\circ} \\ 60^{\circ} + 34^{\circ} + 26^{\circ} + 20^{\circ} + \theta & = & S.  \end{eqnarray*}

Somando adequadamente essas sentenças obtemos

    \begin{gather*} (\alpha_1 + \beta_1 + 60^{\circ}) + (\alpha_2 + \beta_2 + 34^{\circ}) +\\ + (\alpha_3 + \beta_3 + 26^{\circ}) + (\alpha_4 + \beta_4 + 20^{\circ}) +\\ + (\alpha_5 + \beta_5 + \theta) = 2 \cdot 360^{\circ} + S.  \end{gather*}

Observe que as somas nos parêntesis são as somas dos ângulos internos dos triângulos \Delta AJF, \Delta BFG, \Delta CGH, \Delta DHI, \Delta EIJ. Assim,

    \begin{gather*}  5\cdot 180^{\circ} = 2 \cdot 360^{\circ} + S\\ S = 180^{\circ}.  \end{gather*}

Substituindo esse resultado em (3) temos,

    \begin{gather*} 60^{\circ} + 34^{\circ} + 26^{\circ} + 20^{\circ} + \theta  = 180^{\circ}\\ \theta = 40^{\circ}.  \end{gather*}

alternativa C

😉

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Problema

Assim como...

"dois e dois são quatro"

então...

\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\ldots}}\,}+

+\,\sqrt{2}\sqrt{2+\sqrt{2}}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}

é igual a?

a) 1   b) 2  c) 3  d) 4  e) 5

Solução

Seja

S=\overbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\ldots}}}}^{A}\,+

+\,\underbrace{\sqrt{2}\sqrt{2+\sqrt{2}}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}}_{B}

I) Resolvendo A.

A=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\ldots}}}

A^2=\left(\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\ldots}}}\right)^2

A^2=2+\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\ldots}}}_{A}

A^2=2+A

A^2-A-2=0

A=2 pois A >0

II) Resolvendo B.

B=\sqrt{2}\sqrt{2+\sqrt{2}}\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}}_{(i)}

(i) é produto de dois radicais com mesmo índice. Podemos reescrever na forma de um único radical.

B= \sqrt{2}\sqrt{2+\sqrt{2}}\sqrt{\underbrace{(2+\sqrt{2+\sqrt{2}}) (2-\sqrt{2+\sqrt{2}})}_{(ii)}

(ii) é diferença de quadrados.

B= \sqrt{2}\sqrt{2+\sqrt{2}}\sqrt{2^2-(\sqrt{2+\sqrt{2}})^2}

B= \sqrt{2}\sqrt{2+\sqrt{2}}\sqrt{4-(2+\sqrt{2})}

B= \sqrt{2}\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2}}\sqrt{2-\sqrt{2}}}_{(i)}

B= \sqrt{2}\sqrt{\underbrace{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}_{(ii)}}

B= \sqrt{2}\sqrt{2^2-(\sqrt{2})^2}

B= \sqrt{2}\sqrt{4-2}

B=\sqrt{2}\sqrt{2}

B=2

Assim, S=A+B=2+2=4.

Alternativa D

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