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20160202_053614

JOGOS DE DADOS
GERALDO DE BARROS
1992

Imagem de um dos três cubos, da obra de Geraldo de Barros, instalada na Estação Clínicas do Metrô. A obra, da sua produção concreta, realizada com laminado plástico sobre madeira, dentro do ideário concretista, utiliza princípios da gestalt em sua concepção. Cada uma dessas obras é constituída por 12 losangos que se articulam formando conjuntos de três cubos, na vertical e na diagonal, de acordo com a percepção mutante do conjunto.

Segundo a teoria gestáltica, o todo é maior do que a soma de suas partes. Assim, a união dos 12 losangos na obra de Geraldo de Barros resulta num terceiro elemento que é o conjunto de todos eles, conjunto esse que tem características absolutamente originais.

Problema

A imagem da obra de Geraldo Barros é formada por 12 losangos congruentes, que formam um hexágono regular V_1 V_2 V_3 V_4 V_5 V_6. Se o lado do losango é igual a 1, então a razão entre a área e o perímetro da estrela ABCDEFGHIJKL é?

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a) \frac{\sqrt{3}}{2}   b) \frac{\sqrt{3}}{3}   c) \frac{\sqrt{3}}{4}   d) \frac{\sqrt{3}}{5}   e) \frac{\sqrt{3}}{6}  

Solução

Como o número de losangos que forma o hexágono regular V_1 V_2 V_3 V_4 V_5 V_6 é o dobro do número de losangos que forma a estrela ABCDEFGHIJKL, a área da estrela é metade da área do hexágono. E, como o lado da estrela mede 1, o lado do hexágono mede 2. Assim

    \begin{align*} S_{ESTR} & = \frac{1}{2} \cdot S_{HEX} \\ & = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot\frac{2^2\sqrt{3}}{4}\\ & = 3 \sqrt{3}.  \end{align*}

Como a estrela tem 12 lados, o perímetro da estrela é

    \[ 2p = 12 \cdot 1 = 12. \]

Portanto, a razão e pedida é

    \[ \frac{S_{ESTR}}{2p} = \frac{3 \sqrt{3}}{12} = \frac{\sqrt{3}}{4}.  \]

alternativa C  

😉

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Problema

Completar os espaços com os números de 1 a 9 sem repetir. Respeitar a ordem de operações, isto é, multiplicações e divisões antes, somas e subtrações depois.

Solução

Créditos para meus colegas de IMECC Carlos Sato que me apresentou o problema e Marcelo Pereira que gerou a lista de soluções.

Este problema foi criado por um garoto vietnamita de apenas 8 anos! Envolve apenas aritmética básica, mas tem desafiado até adultos com bom conhecimento matemático!

Uma forma de atacar o problema é usando o processo de tentativa e erro… bem orientado… claro! Devemos completar os espaços da “cobra” com os números de 1 até 9. Vamos transformar a “cobra” na equação

    \begin{align*}  a+\frac{13b}{c}&+d+12e-f-\\ &-11+\frac{gh}{i}-10=66 \end{align*}

que é equivalente a

    \[ a+\frac{13b}{c}&+d+12e-f+\frac{gh}{i}=87 \]

e rearranjando as parcelas temos

    \[ a+d-f+\frac{13b}{c}+12e+\frac{gh}{i}=87.  \]

O número total de possibilidades de se colocar os números de 1 a 9 nos nove espaços é P_{9}=9!=362880.

Mas equação nos dá algumas dicas de como começar. A parcela 13b/c não deve ser muito grande pois a soma é 87. E consideremos que 13b/c e gh/i sejam números inteiros. Assim, vamos assumir, inicialmente, que b=2 e c=1. E temos

    \[ a+d-f+\frac{13 \cdot 2}{1}+12e+\frac{gh}{i}=87 \]

    \[ a+d-f+12e+\frac{gh}{i}=61.  \]

Sobram os números de 3 a 9 em que 3,5 e 7 são primos. E, assumindo que gh/i deve ser inteiro, vamos usar os primos da seguinte forma: a=3, d=5 e f=7. E temos

    \[ 3+5-7+12e+\frac{gh}{i}=61  \]

    \[ 12e+\frac{gh}{i}=60.   \]

E fazendo tentativas com os números restantes temos

    \[ 12 \cdot 4 +\frac{9 \cdot 8}{6}=60.   \]

Logo, uma solução é: a=3, b=2, c=1, d=5, e=4, f=7, g=9, h=8 e i=6.

Mas existem outras soluções! O número total de soluções do problema proposto pelo pequeno/gigante vietnamita é de 136.

Podemos chegar a essas soluções usando a “força bruta” de um computador. Devemos escrever um código que teste as 362880 possibilidades de completar os espaços da “cobra”. Fazendo isso, chegamos a seguinte lista de soluções

1 2 6 4 7 8 3 5 9 (1)
1 2 6 4 7 8 5 3 9 (2)
1 3 2 4 5 8 7 9 6 (3)
1 3 2 4 5 8 9 7 6 (4)
1 3 2 9 5 6 4 7 8 (5)
1 3 2 9 5 6 7 4 8 (6)
1 3 4 7 6 5 2 9 8 (7)
1 3 4 7 6 5 9 2 8 (8)
1 3 6 2 7 9 4 5 8 (9)
1 3 6 2 7 9 5 4 8 (10)
1 3 9 4 7 8 2 5 6 (11)
1 3 9 4 7 8 5 2 6 (12)
1 4 8 2 7 9 3 5 6 (13)
1 4 8 2 7 9 5 3 6 (14)
1 5 2 3 4 8 7 9 6 (15)
1 5 2 3 4 8 9 7 6 (16)
1 5 2 8 4 7 3 9 6 (17)
1 5 2 8 4 7 9 3 6 (18)
1 5 3 9 4 2 7 8 6 (19)
1 5 3 9 4 2 8 7 6 (20)
1 8 3 7 4 5 2 6 9 (21)
1 8 3 7 4 5 6 2 9 (22)
1 9 6 4 5 8 3 7 2 (23)
1 9 6 4 5 8 7 3 2 (24)
1 9 6 7 5 2 3 4 8 (25)
1 9 6 7 5 2 4 3 8 (26)
2 1 4 3 7 9 5 6 8 (27)
2 1 4 3 7 9 6 5 8 (28)
2 3 6 1 7 9 4 5 8 (29)
2 3 6 1 7 9 5 4 8 (30)
2 4 8 1 7 9 3 5 6 (31)
2 4 8 1 7 9 5 3 6 (32)
2 6 9 8 5 1 4 7 3 (33)
2 6 9 8 5 1 7 4 3 (34)
2 8 6 9 4 1 5 7 3 (35)
2 8 6 9 4 1 7 5 3 (36)
2 9 6 3 5 1 4 7 8 (37)
2 9 6 3 5 1 7 4 8 (38)
3 1 4 2 7 9 5 6 8 (39)
3 1 4 2 7 9 6 5 8 (40)
3 2 1 5 4 7 8 9 6 (41)
3 2 1 5 4 7 9 8 6 (42)
3 2 4 8 5 1 7 9 6 (43)
3 2 4 8 5 1 9 7 6 (44)
3 2 8 6 5 1 7 9 4 (45)
3 2 8 6 5 1 9 7 4 (46)
3 5 2 1 4 8 7 9 6 (47)
3 5 2 1 4 8 9 7 6 (48)
3 6 4 9 5 8 1 7 2 (49)
3 6 4 9 5 8 7 1 2 (50)
3 9 2 8 1 5 6 7 4 (51)
3 9 2 8 1 5 7 6 4 (52)
3 9 6 2 5 1 4 7 8 (53)
3 9 6 2 5 1 7 4 8 (54)
4 2 6 1 7 8 3 5 9 (55)
4 2 6 1 7 8 5 3 9 (56)
4 3 2 1 5 8 7 9 6 (57)
4 3 2 1 5 8 9 7 6 (58)
4 3 9 1 7 8 2 5 6 (59)
4 3 9 1 7 8 5 2 6 (60)
4 9 6 1 5 8 3 7 2 (61)
4 9 6 1 5 8 7 3 2 (62)
5 1 2 9 6 7 3 4 8 (63)
5 1 2 9 6 7 4 3 8 (64)
5 2 1 3 4 7 8 9 6 (65)
5 2 1 3 4 7 9 8 6 (66)
5 3 1 7 2 6 8 9 4 (67)
5 3 1 7 2 6 9 8 4 (68)
5 4 1 9 2 7 3 8 6 (69)
5 4 1 9 2 7 8 3 6 (70)
5 4 8 9 6 7 1 3 2 (71)
5 4 8 9 6 7 3 1 2 (72)
5 7 2 8 3 9 1 6 4 (73)
5 7 2 8 3 9 6 1 4 (74)
5 9 3 6 2 1 7 8 4 (75)
5 9 3 6 2 1 8 7 4 (76)
6 2 8 3 5 1 7 9 4 (77)
6 2 8 3 5 1 9 7 4 (78)
6 3 1 9 2 5 7 8 4 (79)
6 3 1 9 2 5 8 7 4 (80)
6 9 3 5 2 1 7 8 4 (81)
6 9 3 5 2 1 8 7 4 (82)
7 1 4 9 6 5 2 3 8 (83)
7 1 4 9 6 5 3 2 8 (84)
7 2 8 9 6 5 1 3 4 (85)
7 2 8 9 6 5 3 1 4 (86)
7 3 1 5 2 6 8 9 4 (87)
7 3 1 5 2 6 9 8 4 (88)
7 3 2 8 5 9 1 6 4 (89)
7 3 2 8 5 9 6 1 4 (90)
7 3 4 1 6 5 2 9 8 (91)
7 3 4 1 6 5 9 2 8 (92)
7 5 2 8 4 9 1 3 6 (93)
7 5 2 8 4 9 3 1 6 (94)
7 6 4 8 5 9 1 3 2 (95)
7 6 4 8 5 9 3 1 2 (96)
7 8 3 1 4 5 2 6 9 (97)
7 8 3 1 4 5 6 2 9 (98)
7 9 6 1 5 2 3 4 8 (99)
7 9 6 1 5 2 4 3 8 (100)
8 2 4 3 5 1 7 9 6 (101)
8 2 4 3 5 1 9 7 6 (102)
8 3 2 7 5 9 1 6 4 (103)
8 3 2 7 5 9 6 1 4 (104)
8 5 2 1 4 7 3 9 6 (105)
8 5 2 1 4 7 9 3 6 (106)
8 5 2 7 4 9 1 3 6 (107)
8 5 2 7 4 9 3 1 6 (108)
8 6 4 7 5 9 1 3 2 (109)
8 6 4 7 5 9 3 1 2 (110)
8 6 9 2 5 1 4 7 3 (111)
8 6 9 2 5 1 7 4 3 (112)
8 7 2 5 3 9 1 6 4 (113)
8 7 2 5 3 9 6 1 4 (114)
8 9 2 3 1 5 6 7 4 (115)
8 9 2 3 1 5 7 6 4 (116)
9 1 2 5 6 7 3 4 8 (117)
9 1 2 5 6 7 4 3 8 (118)
9 1 4 7 6 5 2 3 8 (119)
9 1 4 7 6 5 3 2 8 (120)
9 2 8 7 6 5 1 3 4 (121)
9 2 8 7 6 5 3 1 4 (122)
9 3 1 6 2 5 7 8 4 (123)
9 3 1 6 2 5 8 7 4 (124)
9 3 2 1 5 6 4 7 8 (125)
9 3 2 1 5 6 7 4 8 (126)
9 4 1 5 2 7 3 8 6 (127)
9 4 1 5 2 7 8 3 6 (128)
9 4 8 5 6 7 1 3 2 (129)
9 4 8 5 6 7 3 1 2 (130)
9 5 3 1 4 2 7 8 6 (131)
9 5 3 1 4 2 8 7 6 (132)
9 6 4 3 5 8 1 7 2 (133)
9 6 4 3 5 8 7 1 2 (134)
9 8 6 2 4 1 5 7 3 (135)
9 8 6 2 4 1 7 5 3 (136)

que foi gerada pela classe java

 

public class Cobra {

    private static int cont=0; 
    private static double [] p;

    public static void permuta(int [] vet) { 
		p = new double [vet.length]; 
		permuta(vet,0);
    }

    private static void permuta(int [] vet, int n) { 
        if (n==vet.length && p[0]+p[3]-p[5]+12*p[4]+(13*p[1]*p[8]+p[6]*p[7]*p[2])/(p[2]*p[8])==87) { 
			cont++; 
			imprime();
		} 
		else { 
			for (int i=0; i < vet.length; i++) { 
				boolean f = false; 
				for (int j = 0; j < n; j++) { 
					if (p[j]==vet[i]) f = true; 
				} 
				if (!f) { 
					p[n] = vet[i];
					permuta(vet,n+1); 
				}
			}
		}
    }

    private static void imprime() { 
		System.out.println();
		for (int i=0; i < p.length; i++) System.out.print((int) p[i] + " ");
		System.out.print(" (" + cont + ")");
    }

    public static void main(String[] args) {
        int v[] = {1,2,3,4,5,6,7,8,9};
        Cobra.permuta(v); 
    } 
}

😉

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– Professor, o senhor acha que existem muitos problemas difíceis na matemática?
– Hum… O que você considera um problema difícil?
– Difícil é aquele problema que eu não consigo ou demoro para resolver!
– Bom, então devem existir muitos problemas difíceis não é?
– Não, eles são poucos! Por exemplo, esse problema (abaixo) é difícil! Demorei 3 dias pra resolvê-lo!
– Puxa, minha lista de problemas não solucionados parece interminável!

Nesse momento, a conversa termina com o garoto (1º ano do ensino médio) demonstrando certo desapontamento com a minha resposta! Você consegue resolver o “problema de 3 dias”?

Problema

Sejam a>0 e b>0. Se

    \[ \frac{a+2b}{b}=\frac{a+b}{a},  \]

então encontre o valor de

    \[ \frac{(a+b)^2}{ab}.  \]

Solução

    \[ \frac{a+2b}{b}=\frac{a+b}{a} \]

    \[ \frac{a}{b}+\frac{2b}{b}=\frac{a}{a}+ \frac{b}{a} \]

    \[ \frac{a}{b}+2=1+\frac{b}{a} \]

    \[ \frac{a}{b}-\frac{b}{a}=-1 \]

    \[ \left(\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\right)^2=(-1)^2 \]

    \[ \left(\frac{a}{b}\right) ^2-2  \frac{a}{b}\frac{b}{a} + \left(\frac{b}{a}\right) ^2=1 \]

    \[ \left(\frac{a}{b}\right) ^2-2+ \left(\frac{b}{a}\right) ^2=1 \]

    \[ \left(\frac{a}{b}\right) ^2-2+4+ \left(\frac{b}{a}\right) ^2=1+4 \]

    \[ \left(\frac{a}{b}\right) ^2+2+ \left(\frac{b}{a}\right) ^2=5 \]

    \[ \left(\frac{a}{b}\right) ^2+2 \frac{a}{b} \frac{b}{a} + \left(\frac{b}{a}\right) ^2=5 \]

    \[ \left(\frac{a}{b}+ \frac{b}{a}\right) ^2=5 \]

    \[ \frac{a}{b}+ \frac{b}{a}=\sqrt{5} \, \, \textrm{pois} \, \, a>0 \wedge b>0 \]

    \[ \frac{a}{b}+2+ \frac{b}{a}=\sqrt{5}+2  \]

    \[ \frac{a^2}{ab}+2\frac{ab}{ab} + \frac{b^2}{ab}=\sqrt{5}+2  \]

    \[ \frac{a^2 +2ab+b^2}{ab} =\sqrt{5}+2 \]

    \[ \frac{(a+b)^2}{ab} =\sqrt{5}+2 \]

😉

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Problema

A igualdade

    \[ \textcolor{blue}{\sqrt{2+\frac{2}{3}}}=\sqrt{\frac{6+2}{3}}=\sqrt{\frac{8}{3}}=\textcolor{blue}{2\sqrt{\frac{2}{3}}} \]

é do tipo

    \[ \textcolor{blue}{\sqrt{a+\frac{a}{b}}=a\sqrt{\frac{a}{b}}} \]

Você consegue encontrar outras igualdades desse tipo?

Solução

São infinitas igualdades desse tipo. Vejamos algumas delas:

    \[ \sqrt{2+\frac{2}{3}}=2\sqrt{\frac{2}{3}} \]

    \[  \sqrt{3+\frac{3}{8}}=3\sqrt{\frac{3}{8}} \]

    \[ \sqrt{4+\frac{4}{15}}=4\sqrt{\frac{4}{15}} \]

    \[ \sqrt{7+\frac{7}{48}}=7\sqrt{\frac{7}{48}}\cdots \]

Se as igualdades são do tipo

    \[ \sqrt{a+\frac{a}{b}}=a\sqrt{\frac{a}{b}} \]

então

    \[ \sqrt{\frac{ab+a}{b}}=\sqrt{\frac{a^3}{b}} \]

e

    \[ ab+a=a^3 \]

    \[ a(b+1)=a^3 \]

    \[ b=a^2 +1. \]

Portanto

    \[ \boxed{\sqrt{a+\frac{a}{a^2-1}}=a\sqrt{\frac{a}{a^2-1}}} \]

e para cada a \in \mathbb{N}^* - \{1\} geramos uma nova igualdade.

😉

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