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Problema

Pedalei dois terços de um percurso e… estoura o pneu! Bom… corri o restante. Se demorei correndo o dobro do tempo que pedalando, quantas vezes fui mais rápido pedalando?


a) 2   b) 3   c) 4   d) 5   e) 6

Solução

Sejam (2x, t, v_p) e (x, 2t,v_c) duas ternas representando as distâncias percorridas, os tempos decorridos e as velocidades médias, pedalando e correndo, respectivamente. Assim

(1)   \begin{equation*} v_p=\frac{2x}{t} \Leftrightarrow \frac{v_p}{2}=\frac{x}{t} \end{equation*}

e

(2)   \begin{equation*} v_c=\frac{x}{2t} \Leftrightarrow 2v_p}=\frac{x}{t}. \end{equation*}

De (1) e (2) temos

    \begin{equation*} \frac{v_p}{2}=2v_c \Leftrightarrow \boxed{v_p=4v_c.} \end{equation*}

alternativa C

😉

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Problema

Hoje o tio fez 110011_2 anos! Quantos anos tem o tio?


a) \mathrm{XLIX}   b) \mathrm{L}   c) \mathrm{LI}   d) \mathrm{LII}   e) \mathrm{LIII}

Solução

Para converter da base 2 para a base 10 fazemos:

    \begin{align*}  110011_2 & = 1\cdot 2^5 + 1\cdot 2^4 + 0\cdot 2^3 +\\ & + 0\cdot 2^2 + 1\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0\\ & = 32 + 16 + 0 + 0 + 2 + 1\\ & = 51.  \end{align*}

Na tabela abaixo temos a relação entre números Romanos e Indu-Arábicos.

    \[ \begin{tabular}{|c|c|} \hline Romanos & Indu-Arᢩcos\\ \hline I & 1\\ \hline V & 5\\ \hline X & 10\\ \hline L & 50\\ \hline C & 100\\ \hline D & 500\\ \hline M & 1000\\ \hline \end{tabular} \]

Assim, usando corretamente os princípios de construção de números Romanos podemos dizer qual é a alternativa correta.

    \[ \begin{tabular}{|l|c|} \hline Romanos & Indu-Arᢩcos\\ \hline a) XLIX & a) 49\\ \hline b) L & b) 50\\ \hline c) LI & c) 51\\ \hline d) LII & d) 52\\ \hline e) LIII & e) 53\\ \hline \end{tabular} \]

alternativa C

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Problema

Todos os asteriscos representam o mesmo número. Qual é esse número?

    \[ \frac{*}{*} - \frac{*}{6} = \frac{*}{12} \]


a) 2   b) 3   c) 4   d) 5   d) 6

Solução

Fazendo *=x temos

    \begin{gather*}  \frac{x}{x} - \frac{x}{6} = \frac{x}{12}\\ \frac{12x-2x^{2}}{12x}=\frac{x^{2}}{12x}\\ 3x^{2}-12x=0\\ 3x(x-4)=0\\ x=4 \, \textmr{pois} \, x \neq 0 \end{gather*}

Assim *=4.

alternativa C

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Problema

As circunferências \Omega_{1} e \Omega_{2} são tangentes internamente em A e a corda \overline{BC} de \Omega_{1} é tangente a \Omega_{2} em E. \overline{AB} e \overline{AC} interceptam \Omega_{2} em H e G, respectivamente. Se BC=15, AG=2 e AH=3, encontre EB.

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a) 7   b) 8   c) 9   d) 10   e) 11

Solução

1. Inicialmente mostremos a seguinte semelhança: \Delta ABC \sim \Delta AHG.

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Seja r a reta tangente a \Omega_1 e a \Omega_2 em A. O ângulo inscrito A\widehat{G}H e o ângulo de segmento S\widehat{A}B determinam o menor arco \wideparen{AH} (azul). Assim A\widehat{G}H \cong S\widehat{A}B.

De forma similar temos que o ângulo inscrito A\widehat{C}B e o ângulo de segmento S\widehat{A}B determinam o menor arco \wideparen{AB} (vermelho). Assim A\widehat{C}B \cong S\widehat{A}B.

Portanto, A\widehat{G}H \cong A\widehat{C}B \cong S\widehat{A}B e como H\widehat{A}G \cong B\widehat{A}C, os triângulos \Delta ABC e \Delta AHG são semelhantes pelo caso (AA).

2. Mostremos agora a seguinte semelhança: \Delta ACE \sim \Delta AEH.

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O ângulo inscrito A\widehat{E}H e o ângulo de segmento S\widehat{A}B determinam o menor arco \wideparen{AH} (azul). Assim A\widehat{E}H \cong S\widehat{A}B.

De forma similar A\widehat{C}B e o ângulo de segmento S\widehat{A}B determinam o menor arco \wideparen{AB} (vermelho). Assim A\widehat{C}B \cong S\widehat{A}B. Logo A\widehat{C}E \cong A\widehat{E}H \cong S\widehat{A}B.

O ângulo inscrito E\widehat{H}A e o ângulo de segmento C\widehat{E}A determinam o menor arco \wideparen{AE} (verde). Assim E\widehat{H}A \cong C\widehat{E}A.

Portanto, os triângulos \Delta ACE e \Delta AEH são semelhantes pelo caso (AA). Da semelhança temos E\widehat{A}C \cong H\widehat{A}E e então \overline{AE} é bissetriz interna do \Delta ABC.

3. Agora vamos resolver o problema proposto. Como \Delta ABC \sim \Delta AHG temos

    \begin{equation*}  \frac{AC}{AB}=\frac{AG}{AH}=\frac{2}{3}. \end{equation*}

E como \overline{AE} é bissetriz interna do \Delta ABC temos

    \begin{gather*}  \frac{AC}{AB}=\frac{CE}{EB}=\frac{15-EB}{EB} =\frac{2 }{3}\Rightarrow\\ \Rightarrow \frac{15-EB}{EB} =\frac{2 }{3} \Rightarrow \boxed{EB=9}.  \end{gather*}

alternativa C

😉


CHALLENGING PROBLEMS IN GEOMETRY

Alfred S. Posamentier
Charles T. Salkind

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